Тригонометрические функции

Тригонометрические функции, один из важнейших классов элементарных функций. Для определения Т. ф. обычно рассматривают окружность единичного радиуса с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами A'A и…


Тригонометрический знак

Тригонометрический знак в геодезии, сооружение, устанавливаемое на местности в тригонометрических пунктах. Т. з. состоит из двух частей - наружной (см. Сигнал геодезический) и подземной (см. Центр…


Тригонометрический пункт

Тригонометрический пункт,пункт триангуляции, геодезический пункт, положение которого на земной поверхности определено методом триангуляции. Точное положение Т. п. на местности фиксируется путём…


Тригонометрический ряд

Тригонометрический ряд,функциональный ряд вида

, (1)

то есть ряд, расположенный по синусам и косинусам кратных дуг. Часто Т. р. записываются в комплексной форме

.

Числа an, bn или cn называют коэффициентами Т. р.

Т. р. играют весьма важную роль в математике и её приложениях. Прежде всего Т. р. дают средства для изображения и изучения функций и являются поэтому одним из основных аппаратов теории функций. Далее, Т. р., естественно, появляются при решении ряда задач математической физики, среди которых можно отметить задачу о колебании струны, задачу о распространении тепла и др. Наконец, теория Т. р. способствовала уточнению основных понятий математического анализа (функция, интеграл), вызвала к жизни ряд важных разделов математики (теория интегралов Фурье, теория почти-периодических функций), послужила одним из отправных пунктов для развития теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа и положила начало общему гармоническому анализу.

Т. р. впервые появляются в работах Л. Эйлера ("Введение в анализ бесконечно малых", 1748; Письмо к Х. Гольдбаху от 4 июля 1744), например:

,

Эйлер указал на связь между степенными рядами и Т. р.: если , где cn действительны, то (где Re обозначает действительную часть функции). Эйлеру же принадлежат первые приложения Т. р. к исследованию колебания струны (1748); по его мнению, в Т. р. могут быть разложены лишь те функции, которые мы теперь назвали бы кусочно-аналитическими. Формулы для коэффициентов в разложении

,

а именно:

,

были впервые указаны А. Клеро (1757), а их вывод посредством почленного интегрирования Т. р. был дан Эйлером в 1777; впрочем, формулы для a0 и a1 встречаются еще раньше у Ж. Д'Аламбера (1754).

Т. р. привлекли к себе интерес крупнейших математиков 50—70-х гг. 18 в. в связи со спором о колебании струны. В частности, Д. Бернулли впервые высказал утверждение, что "произвольная" функция может быть разложена в Т.. р. Однако в то время понятие функции было ещё недостаточно отчётливым (см. Функция). Утверждение, что функции весьма общего вида действительно могут быть разложены в Т. р., было вновь высказано и постоянно выдвигалось Ж. Фурье (1811); он систематически пользовался Т. р. при изучении задач теплопроводности. Весьма широкий класс Т. р. по праву носит его имя (см. Фурье ряд). После исследований Фурье Т. р. прочно вошли в математическую физику (С. Пуассон, М. В. Остроградский). Существенный прогресс теории Т. р. в 19 в. был связан с уточнением основных понятий математического анализа и созданием теории функций действительного переменного. Так, П. Дирихле (1837), уточнив понятие произвольной функции, получил первый общий признак сходимости рядов Фурье; Г. Ф. Б. Риман исследовал понятие интеграла и установил необходимое и достаточное условие интегрируемости функций в связи с исследованиями по Т. р.; исследования, относящиеся к изображению функций Т. р., привели Г. Кантора к созданию теории множеств; наконец, А. Лебег (1902—06), применив развитые им понятия меры и интеграла к теории Т. р., придал ей современный вид. Важный вклад в теорию Т. р. внесли Н. Н. Лузин, Д. Е. Меньшов и др.

Лит.: Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М. — Л., 1951; Барин. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1965.